도시 분할 계획
난이도 ★★☆ 풀이 시간 40분 시간 제한 2초
동물원에서 막 탈출한 원숭이 한 마리가 세상 구경을 하고 있다. 어느 날 원숭이는 '평화로운 마을'에 잠시 머물렀는데 마침 마을 사람들은 도로 공사 문제로 머리를 맞대고 회의 중이었다.
마을은 N개의 집과 그 집들을 연결하는 M개의 길로 이루어져 있다. 길은 어느 방향으로든지 다닐 수 있는 편리한 길이다. 그리고 길마다 길을 유지하는데 드는 유지비가 있다.
마을의 이장은 마을을 2개의 분리된 마을로 분할할 계획을 세우고 있다. 마을이 너무 커서 혼자서는 관리할 수 없기 때문이다. 마을을 분할할 때는 각 분리된 마을 안에 집들이 서로 연결되도록 분할해야 한다. 각 분리된 마을 안에 있는 임의의 두 집 사이에 경로가 항상 존재해야 한다는 뜻이다. 마을에는 집이 하나 이상 있어야 한다.
그렇게 마을의 이장은 계획을 세우다가 마을 안에 길이 너무 많다는 생각을 하게 되었다. 일단 분리된 두 마을 사이에 있는 길들은 필요가 없으므로 없앨 수 있다. 그리고 각 분리된 마을 안에서도 임의의 두 집 사이에 경로가 항상 존재하게 하면서 길을 더 없앨 수 있다. 마을의 이장은 위 조건을 만족하도록 길들을 모두 없애고 나머지 길의 유지비의 합을 최소로 하고 싶다. 이것을 구하는 프로그램을 작성하시오.
입력 조건
- 첫째 줄에 집의 개수 N, 길의 개수 M이 주어진다. N은 2 이상 100,000 이하인 정수이고, M 은 1이상 1,000,000 이하인 정수이다.
- 그다음 줄부터 M줄에 걸쳐 길의 정보가 A, B, C 3개의 정수로 공백으로 구분되어 주어지는데 A번 집과 B번 집을 연결하는 길의 유지비가 C(1≤ C ≤ 1,000)라는 뜻이다.
출력 조건
- 첫째 줄에 길을 없애고 남은 유지비 합의 최솟값을 출력한다.
입력 예시
7 12
1 2 3
1 3 2
3 2 1
2 5 2
3 4 4
7 3 6
5 1 5
1 6 2
6 4 1
6 5 3
4 5 3
6 7 4
출력 예시
8
코드
def find_house(parent, x):
if parent[x] != x:
parent[x] = find_house(parent, parent[x])
return parent[x]
def union_house(parent, a, b):
a = find_house(parent, a)
b = find_house(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 집 개수, 길 개수
N, M = map(int, input().split())
# 부모 테이블 선언 후 자기 자신으로 초기화
parent = [0] * (N + 1)
for i in range(1, N+1):
parent[i] = i
# 모든 간선을 담을 리스트와 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0
# 간선 데이터
for i in range(M):
A, B, C = map(int, input().split())
edges.append((C, A, B))
# 간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()
# 최소 신장 트리에 포함되는 간선 중에서 가장 비용이 큰 간선
last = 0
# 비용이 작은 간선부터 하나씩 확인
for edge in edges:
C, A, B = edge
# 사이클이 발생하지 않는 경우(다른 집합인 경우) 집합에 포함하고 비용 증가
if find_house(parent, A) != find_house(parent, B):
union_house(parent, A, B)
result += C
last = C
print(result - last)
해설
임의의 두 집 사이에 경로가 항상 존재해야 한다
→ 크루스칼 알고리즘으로 최소 신장 트리를 찾는다.
마을을 2개의 분리된 마을로 분할할 계획을 세우고 있다.
→ 최소 신장 트리를 구성하는 간선 중에서 가장 비용이 큰 간선을 제거하면 최소 신장 트리가 2개의 그래프로 나누어지면서, 길의 유지비의 합을 최소로 할 수 있다.
입력받은 간선 데이터
edges = [(3, 1, 2), (2, 1, 3), (1, 3, 2), (2, 2, 5), (4, 3, 4), (6, 7, 3), (5, 5, 1), (2, 1, 6), (1, 6, 4), (3, 6, 5), (3, 4, 5), (4, 6, 7)]
비용순으로 정렬
edges = [(1, 3, 2), (1, 6, 4), (2, 1, 3), (2, 1, 6), (2, 2, 5), (3, 1, 2), (3, 4, 5), (3, 6, 5), (4, 3, 4), (4, 6, 7), (5, 5, 1), (6, 7, 3)]
현재 parent 테이블
parent = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]
비용이 작은 간선부터 하나씩 확인
(1, 3, 2)
find_house(parent, 3) = 3
find_house(parent, 2) = 2
루트 노드 값이 다르다 → 사이클이 발생하지 않았다 → 집합에 포함시킨다(간선으로 이어져있으니까)
union_house(3, 2) 수행 후 parent 테이블
parent = [0, 1, 2, 2, 4, 5, 6, 7]
집합에 포함시켰으므로 비용을 증가시킨다.
현재 집합에 포함된 집 : 2, 3
총 비용(result) : 1
(1, 6, 4)
find_house(parent, 6) = 6
find_house(parent, 4) = 4
루트 노드 값이 다르다 → 사이클이 발생하지 않았다 → 집합에 포함시킨다(간선으로 이어져있으니까)
union_house(6, 4) 수행 후 parent 테이블
parent = [0, 1, 2, 2, 4, 5, 4, 7]
집합에 포함시켰으므로 비용을 증가시킨다.
현재 집합에 포함된 집 : 2, 3 / 4, 6
총 비용(result) : 1 + 1 = 2
(2, 1, 3)
find_house(parent, 1) = 1
find_house(parent, 3) = 2
루트 노드 값이 다르다 → 사이클이 발생하지 않았다 → 집합에 포함시킨다(간선으로 이어져있으니까)
union_house(1, 3) 수행 후 parent 테이블
parent = [0, 1, 1, 2, 4, 5, 4, 7]
집합에 포함시켰으므로 비용을 증가시킨다.
현재 집합에 포함된 집 : 1, 2, 3 / 4, 6
총 비용(result) : 1 + 1 + 2 = 4
(2, 1, 6)
find_house(parent, 1) = 1
find_house(parent, 6) = 4
루트 노드 값이 다르다 → 사이클이 발생하지 않았다 → 집합에 포함시킨다(간선으로 이어져있으니까)
union_house(1, 6) 수행 후 parent 테이블
parent = [0, 1, 1, 2, 1, 5, 4, 7]
집합에 포함시켰으므로 비용을 증가시킨다.
현재 집합에 포함된 집 : 1, 2, 3, 4, 6
총 비용(result) : 1 + 1 + 2 + 2 = 6
(2, 2, 5)
find_house(parent, 2) = 1
find_house(parent, 5) = 5
루트 노드 값이 다르다 → 사이클이 발생하지 않았다 → 집합에 포함시킨다(간선으로 이어져있으니까)
union_house(2, 5) 수행 후 parent 테이블
parent = [0, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 7]
집합에 포함시켰으므로 비용을 증가시킨다.
현재 집합에 포함된 집 : 1, 2, 3, 4, 5, 6
총 비용(result) : 1 + 1 + 2 + 2 + 2= 8
(3, 1, 2)
find_house(parent, 1) = 1
find_house(parent, 2) = 1
루트 노드 값이 같다 → 사이클이 발생하였다 → 이미 같은 집합
(3, 4, 5)
find_house(parent, 4) = 1
find_house(parent, 5) = 1
루트 노드 값이 같다 → 사이클이 발생하였다 → 이미 같은 집합
(3, 6, 5)
find_house(parent, 6) = find_house(parent, 4) = 1
find_house(parent, 5) = 1
루트 노드 값이 같다 → 사이클이 발생하였다 → 이미 같은 집합
parent = [0, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 7]
(4, 3, 4)
find_house(parent, 3) = find_house(parent, 2) = 1
find_house(parent, 4) = 1
루트 노드 값이 같다 → 사이클이 발생하였다 → 이미 같은 집합
parent = [0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 7]
(4, 6, 7)
find_house(parent, 6) = 1
find_house(parent, 7) = 7
루트 노드 값이 다르다 → 사이클이 발생하지 않았다 → 집합에 포함시킨다(간선으로 이어져있으니까)
union_house(6, 7) 수행 후 parent 테이블
parent = [0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]
집합에 포함시켰으므로 비용을 증가시킨다.
현재 집합에 포함된 집 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
총 비용(result) : 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 4= 12
(5, 5, 1)
find_house(parent, 5) = 1
find_house(parent, 1) = 1
루트 노드 값이 같다 → 사이클이 발생하였다 → 이미 같은 집합
(6, 7, 3)
find_house(parent, 7) = 1
find_house(parent, 3) = 1
루트 노드 값이 같다 → 사이클이 발생하였다 → 이미 같은 집합
모든 간선 확인 완료
최소 신장 트리의 비용은 12인데 트리를 두 개로 나눠야 하므로(마을 2개) 최소 신장 트리 내의 가장 긴 간선인 4를 빼주면 답은 8이 나온다.
참고
2021.08.04 - [자료구조 알고리즘] - [알고리즘] 신장트리 / 크루스칼 알고리즘 : 최소 신장 트리 알고리즘
[알고리즘] 신장트리 / 크루스칼 알고리즘 : 최소 신장 트리 알고리즘
신장트리 (Spanning Tree) 하나의 그래프가 있을 때 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프를 의미한다. 이때 모든 노드가 포함되어 서로 연결되면서 사이클이 존재하지 않는
devmath.tistory.com
출처
나동빈, 『이것이 취업을 위한 코딩테스트다 with 파이썬』, 한빛미디어(주), 2020년
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