[알고리즘] 위상 정렬 (Topology Sort) : 순서가 정해져 있는 정렬 알고리즘

위상 정렬 (Topology Sort)

순서가 정해져 있는 일련의 작업을 차례대로 수행해야 할 때 사용할 수 있는 알고리즘이다. 혹은 방향 그래프의 모든 노드를 '방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것' 이다.

 

진입차수 (Indegree)

특정한 노드로 들어오는 간선의 개수

 

알고리즘

1. 진입차수가 0인 노드를 큐에 넣는다.
2. 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복한다.
        2-1. 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 출발하는 간선을 그래프에서 제거한다.
        2-2. 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.

이때 모든 원소를 방문하기 전에, 즉 원소가 V번 추출되기 전에 큐가 비어버리면 사이클이 발생한 것이다.

 

 

예제

 

step 0

진입차수가 0인 노드를 큐에 넣는다.

노드	1	2	3	4	5
진입차수	0	1	1	1	2

큐

노드1

 

step 1

큐에 들어 있는 노드1을 꺼낸다.

노드 1과 연결되어 있는 간선들을 제거한다.

노드 2와 노드 4의 진입차수가 0이 된다.

노드 2와 노드 4를 큐에 삽입한다. (무엇을 먼저 넣든 상관없다.)

노드	1	2	3	4	5
진입차수	0	0	1	0	2

큐

노드2  노드4

 

step 2

큐에 들어 있는 노드2를 꺼낸다.

노드 2와 연결되어 있는 간선들을 제거한다.

노드 3의 진입차수가 0이 된다.

노드 3을 큐에 삽입한다. (무엇을 먼저 넣든 상관없다.)

노드	1	2	3	4	5
진입차수	0	0	0	0	1

큐

노드4  노드3

 

step 3

큐에 들어 있는 노드 4를 꺼낸다.

노드 4와 연결되어 있는 간선들을 제거한다.

노드 5의 진입차수가 0이 된다.

노드 5를 큐에 삽입한다. (무엇을 먼저 넣든 상관없다.)

노드	1	2	3	4	5
진입차수	0	0	0	0	0

큐

노드3  노드5

 

step 4

큐에 들어 있는 노드 3을 꺼낸다.

새롭게 진입차수가 0이 되는 노드가 없으므로 그냥 넘어간다.

큐

노드5

 

step 5

큐에 들어 있는 노드 5를 꺼낸다.

새롭게 진입차수가 0이 되는 노드가 없으므로 그냥 넘어간다.

큐

큐가 비었으므로 종료

 

 

위 과정을 수행하는 동안 큐에서 빠져나간 노드를 순서대로 출력하면, 그것이 바로 위상 정렬을 수행한 결과가 된다.

만약 한 단계에서 큐에 새롭게 들어가는 원소가 2개 이상인 경우가 있다면, 여러 가지의 답이 존재할 수 있다.

위의 예시에서는

1 - 2 - 4 - 3 - 5 

1 - 4 - 2 - 3 - 5

1 - 4 - 2 - 5 - 3

등이 답이 될 수 있다.

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소스코드

from collections import deque

# 노드 개수, 간선 개수
v, e = map(int, input().split())

# 진입차수 테이블 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)

# 간선 데이터
graph = [[] for i in range(v + 1)]

for _ in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a].append(b)  # 노드 a에서 b로 이동 가능
    # 진입차수를 1 증가
    indegree[b] += 1


# 위상 정렬
def topology_sort():
    result = []
    q = deque()

    # 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
    for i in range(1, v + 1):
        if indegree[i] == 0:
            q.append(i)
            
    # 큐가 빌 때까지 반복
    while q:
        now = q.popleft()
        result.append(now)
        # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
        for i in graph[now]:
            indegree[i] -= 1
            # 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
            if indegree[i] == 0:
                q.append(i)
    
    # 결과 출력
    for i in result:
        print(i, end=' ')
        
        
topology_sort()

 

입력 예제

7 8 
1 2
1 5
2 3
2 6
3 4
4 7
5 6
6 4

출력 예제

1 2 5 3 6 4 7

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시간복잡도

O(V + E )

 

 

출처

나동빈, 『이것이 취업을 위한 코딩테스트다 with 파이썬』, 한빛미디어(주), 2020년