[알고리즘] 최단 경로 : 특정 지점까지 가장 빠르게 도달하는 방법을 찾는 알고리즘 / 다익스트라(Dijkstra) 알고리즘/ 개선된 다익스트라 알고리즘 / 파이썬

파이썬 Python

[알고리즘] 최단 경로 : 특정 지점까지 가장 빠르게 도달하는 방법을 찾는 알고리즘 / 다익스트라(Dijkstra) 알고리즘/ 개선된 다익스트라 알고리즘 / 파이썬

수학도 2021. 7. 27. 01:55

최단 경로 (Shortest Path)

가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘
'길 찾기' 문제라고도 불린다.
보통 그래프를 이용해 표현한다.

다익스트라 최단 경로 알고리즘 (Dijkstra)

그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘이다. 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 '음의 간선'이 없을 때 정상적으로 동작한다. 음의 간선이란 0보다 작은 값을 가지는 간선을 의미한다.

원리

다익스트라 최단 경로 알고리즘은 매번 '가장 비용이 적은 노드'를 선택해서 임의의 과정을 반복하기 때문에 기본적으로 그리디 알고리즘으로 구분된다.

출발 노드를 설정한다.
최단 거리 테이블을 초기화한다.
방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
위 과정에서 3, 4번을 반복한다.

특징

다익스트라 알고리즘은 최단 경로를 구하는 과정에서 '각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리' 정보를 항상 1차원 리스트에 저장하며 리스트를 계속 갱신한다. 이러한 1차원 리스트를 최단 거리 테이블이라고 한다.

예시

다음과 같은 그래프가 있을 때 1번 노드에서 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 구하는 문제를 생각해보자.

초기 상태에서는 다른 모든 노드로 가는 최단 거리를 '무한'으로 초기화한다.

999,999,999
987,654,321
int(1e9) (= 1,000,000,000 = 10억)

노드 번호	1	2	3	4	5
거리	무한	무한	무한	무한	무한

step 0

방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하는데, 출발 노드에서 출발 노드로의 거리는 0으로 보기 때문에 처음에는 출발 노드가 선택 된다.

노드 번호	1	2	3	4	5
거리	0	무한	무한	무한	무한

step 1

1번 노드와 연결된 모든 간선을 하나씩 확인한다.

1번 노드를 거쳐서 2번, 3번, 4번으로 가는 최소 비용은 2 (0+2), 5 (0+5), 1 (0+1) 이다.

무한보다 더 짧은 경로를 찾았으므로 각각 새로운 값으로 갱신한다.

노드 번호	1	2	3	4	5
거리	0	2	5	1	무한

방문 완료 : 1번

step 2

방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 4번 노드가 선택된다.

4번 노드를 거쳐서 3번과 5번 노드로 가는 최소 비용은 4 (1+3), 3 (1+2) 이다.

3번 노드에 담겨있던 최단 거리인 5보다 4가 작으므로 4로 갱신

5번 노드에 담겨있던 최단 거리인 무한보다 3이 작으므로 3으로 갱신

노드 번호	1	2	3	4	5
거리	0	2	4	1	3

방문 완료 : 1번, 4번

step 3

방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 2번 노드가 선택된다.

2번 노드를 거쳐서 3번과 4번 노드로 가는 최소 비용은 5 (2+3), 4 (2+2) 이다.

3번 노드에 담겨있던 최단 거리인 4보다 5가 크므로 갱신하지 않는다.

4번 노드에 담겨있던 최단 거리인 1보다 4가 크므로 갱신하지 않는다.

노드 번호	1	2	3	4	5
거리	0	2	4	1	3

방문 완료 : 1번, 4번, 2번

step 4

방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 5번 노드가 선택된다.

5번 노드를 거쳐서 갈 수 있는 노드는 없다.

노드 번호	1	2	3	4	5
거리	0	2	4	1	3

방문 완료 : 1번, 4번, 2번, 5번

step 5

방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 3번 노드가 선택된다.

3번 노드를 거쳐서 2번과 5번 노드로 가는 최소 비용은 7 (4+3), 9 (4+5) 이다.

2번 노드에 담겨있던 최단 거리인 2보다 7이 크므로 갱신하지 않는다.

5번 노드에 담겨있던 최단 거리인 3보다 9가 크므로 갱신하지 않는다.

노드 번호	1	2	3	4	5
거리	0	2	4	1	3

방문 완료 : 1번, 4번, 2번, 5번, 3번 (종료)

방법 1. 간단한 다익스트라 알고리즘

각 노드에 대한 최단 거리를 담는 1차원 리스트를 선언한 후, 단계마다 '방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택'하기 위해 매 단계마다 1차원 리스트의 모든 원소를 확인(순차 탐색)한다.

sys.std.readline() : input() 보다 빠르게 동작하는 입력함수, 입력받는 데이터수가 많을 때 사용한다.

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)  # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수 입력받기
N, M = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트 만들기
graph = [[] for i in range(N+1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (N+1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (N+1)

# 모든 간선 정보 입력받기
for _ in range(M):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))
  
    
# 방문하지 않은 노드 중에서 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0  # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
    for i in range(1, N+1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i
    return index


def dijkstra(start):
    # 시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1]
    # 시작 노드를 제외한 전체 N-1개의 노드에 대해 반복
    for i in range(N-1):
        # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost


# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, N+1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

입력 예시

출력 예시

시간복잡도 : O(V^2)

V는 노드의 개수로, 총 O(V)번에 걸쳐서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색(get_smallest_node())해야 하고, 현재 노드와 연결된 노드를 매번 일일이 확인하기 때문이다.

단점

노드의 개수가 10,000개를 넘어가면 이 코드로는 문제를 해결하기 어렵고, 개선된 다익스트라 알고리즘을 이용해야 한다.

방법 2. 개선된 다익스트라 알고리즘

개선된 다익스트라 알고리즘에서는 힙(Heap) 자료구조를 사용한다. 힙 자료구조를 사용하면 특정 노드까지의 최단 거리에 대한 정보를 힙에 담아서 처리하므로 출발 노드로부터 가장 거리가 짧은 노드를 더욱 빠르게 찾을 수 있다. 이 과정에서 선형 시간이 아닌 로그 시간이 걸린다.

힙 (Heap)

힙 자료구조는 우선순위 큐를 구현하기 위해 사용하는 자료구조 중 하나다. 우선순위 큐는 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제한다.

파이썬에서는 우선순위 큐가 필요할 때 PriorityQueue 혹은 heapq를 사용할 수 있는데, priorityQueue 보다는 일반적으로 heapq가 더 빠르게 동작한다.

예를 들어 물건 정보가 있고, 이 물건 정보는 물건의 가치와 물건의 무게로만 구성된다고 가정해보자. 그러면 모든 물건 데이터를 (가치, 물건)으로 묶어서 우선순위큐 자료구조에 넣을 수 있다. 이후에 우선순위 큐에서 물건을 꺼내게 되면, 항상 가치가 높은 물건이 먼저 나오게 된다. 파이썬에서는 우선순위 큐 라이브러리에 데이터의 묶음을 넣으면, 첫 번째 원소를 기준으로 우선순위를 설정하기 때문에, 데이터가 (가치, 물건)으로 구성된다면 ‘가치’ 값이 우선순위 값이 된다.

우선순위 큐를 구현할 때는 내부적으로 최소 힙(Min Heap) 혹은 최대 힙(Max Heap)을 이용한다. 최소 힙을 이용하는 경우 ‘값이 낮은 데이터가 먼저 삭제’되며, 최대 힙을 이용하는 경우 ‘값이 큰 데이터가 먼저 삭제’된다. 파이썬 라이브러리에서는 기본적으로 최소 힙 구조를 사용하기 때문에 다익스트라에서 우선순위 큐 라이브러리를 그대로 사용하면 적합하다.

시간복잡도

우선순위 큐 구현 방식	삽입 시간	삭제 시간
리스트	O(1)	O(N)
힙(Heap)	O(logN)	O(logN)

이번에는 단계별로 우선순위 큐가 어떻게 변하는지를 살펴보자.

최단 거리를 저장하기 위한 1차원 리스트 (최단 거리 테이블)는 아까와 같이 그대로 이용하고, 현재 가장 가까운 노드를 저장하기 위한 목적으로만 우선순위 큐를 추가로 이용한다.

step 0

1번 노드가 출발 노드인 경우, 우선 출발 노드를 제외한 모든 노드의 최단 거리를 무한으로 설정한다. 이후에 우선순위 큐에 (거리:0, 노드:1)의 정보를 가지는 객체(튜플)를 넣는다. 1번 노드에서 1번 노드로 가는 거리는 자기 자신까지 도달하는 거리이기 때문에 0이다.

(거리, 노드 번호) 순서대로 튜플 데이터를 구성해 우선순위 큐에 넣으면 튜플의 첫 번째 원소인 거리순으로 정렬된다.

노드 번호	1	2	3	4	5
거리	0	무한	무한	무한	무한

우선순위 큐

(거리:0, 노드:1)

step 1

거리가 가장 짧은 노드를 선택한다. 거리가 짧은 원소가 우선순위 큐의 최상위 원소로 위치해 있기 때문에 우선순위 큐에서 그냥 노드를 꺼내면 된다.

우선순위 큐에서 노드를 꺼낸 뒤에 해당 노드를 이미 처리한 적이 있다면 무시하면 되고, 아직 처리하지 않은 노드에 대해서만 처리하면 된다.

우선순위 큐에서 (0, 1)을 꺼낸다. 1번 노드와 연결된 2번, 3번, 4번 노드로 가는 최소 비용을 계산하면 2 (0+2), 5 (0+5), 1 (0+1) 이다. 현재 최단 거리 테이블에 담겨 있는 값(무한)보다 더 짧은 경로이므로 테이블 값을 갱신하고, 갱신된 노드 정보들을 우선순위 큐에 담는다.

노드 번호	1	2	3	4	5
거리	0	2	5	1	무한

우선순위 큐

(거리:1, 노드:4) (거리:2, 노드:2) (거리:5, 노드:3) 거리순 정렬

방문한 노드 :　1번

step 2

우선순위 큐에서 (1, 4)를 꺼낸다. 아직 4번 노드를 방문하지 않았으며, 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드가 4이므로 4번 노드와 연결된 3번, 5번 노드로 가는 최소 비용을 계산하면 4 (1+3), 3 (1+2) 이다. 기존 값보다 작기 때문에 값을 갱신하고, 갱신된 정보들을 우선순위 큐에 담는다.

노드 번호	1	2	3	4	5
거리	0	2	4	1	3

우선순위 큐

(거리:2, 노드:2) (거리:3, 노드:5) (거리:4, 노드:3) (거리:5, 노드:3)

방문한 노드 : 1번, 4번

step 3

우선순위 큐에서 (2, 2)를 꺼낸다. 2번 노드와 연결된 3번, 4번 노드로 가는 최소 비용을 계산하면 5 (2+3), 4(2+2) 이다. 기존 값보다 크기 때문에 값을 갱신하지 않는다.

노드 번호	1	2	3	4	5
거리	0	2	4	1	3

우선순위 큐

(거리:3, 노드:5) (거리:4, 노드:3) (거리:5, 노드:3)

방문한 노드 : 1번, 4번, 2번

step 4

우선순위 큐에서 (3, 5)를 꺼낸다. 5번 노드에서 갈 수 있는 노드는 존재하지 않는다.

노드 번호	1	2	3	4	5
거리	0	2	4	1	3

우선순위 큐

(거리:4, 노드:3) (거리:5, 노드:3)

방문한 노드 : 1번, 4번, 2번, 5번

step 5

우선순위 큐에서 (4, 3)을 꺼낸다. 3번 노드와 연결된 2번, 5번 노드로 가는 최소 비용을 계산하면 8 (5+3), 10 (5+5) 이다. 기존 값보다 크기 때문에 값을 갱신하지 않는다.

노드 번호	1	2	3	4	5
거리	0	2	4	1	3

우선순위 큐

(거리:5, 노드:3)

방문한 노드 : 1번, 4번, 2번, 5번, 3번

step 6

우선순위 큐에서 (5, 3)을 꺼낸다. 하지만 3번 노드는 앞서 방문한 적이 있으므로 무시한다.

노드 번호	1	2	3	4	5
거리	0	2	4	1	3

우선순위 큐

방문한 노드 : 1번, 4번, 2번, 5번, 3번

이와 같이 모든 단계를 거친 후에 최단 거리 테이블에 남아 있는 0, 2, 4, 1, 3이 각 노드로의 최단 거리이다.

개선된 다익스트라 알고리즘 소스코드

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)  # 무한값으로 10억을 설정

N, M = map(int, input().split())
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트
graph = [[] for i in range(N+1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (N+1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(M):
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a].append((b, c))

def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q:  # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, N+1):
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    else:
        print(distance[i])

입력

출력

시간복잡도 : O(ElogV)

출처

나동빈, 『이것이 취업을 위한 코딩테스트다 with 파이썬』, 한빛미디어(주), 2020년

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